講義の主旨:

代数幾何学とは, 多項式たちの零点集合として定まる図形―代数多様体―を対象とする幾何学です. ほんの入口の部分ですが, 代数幾何学の面白さを何とか伝えたいと思います. 今年のテーマは，

平面代数曲線

です．

講義内容:

• アフィン曲線 [G][S]
• アフィン空間
• アフィン曲線
• アフィン変換
• 接線と特異点
• 特異点における接線
• 交点数
• 射影曲線 [G][S]
• 射影平面
• 射影曲線
• アフィン曲線と射影曲線
• べズーの定理 [G][S]
• 終結式
• べズーの定理
• 平面射影幾何のいろいろな定理*
• 特異点の個数*
• 変曲点*
• 平面三次曲線 [G][R][ST]
• 二項演算 ``$*$'', ``$+$''
• ``$+$'' により平面三次曲線は群をなす
• 具体的計算例
• 補遺: 実2次元多様体としてのかたち
• 有限体上の平面三次曲線の群構造

* 付きの項目は, 時間に余裕のある場合に適宜選んで講義する.

参考文献:

• [G] C. G. Gibson: Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction (Cambridge University Press).
• [R] M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry (London Mathematical Society Student Texts, Series Number 12)
• [S] 酒井 文雄: 平面代数曲線, 数学のかんどころ 12 (共立出版).
• [ST] J. H. Silverman, J. T. Tate: Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics).

[2024/02/23]